Diseño de un Ala Delta

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Autor: Orlando Rozo Mariño
Onbtenido de Mecanica de Vuelo, número 98-II

Introducción

El desarrollo de este artículo se llevará a cabo mediante una exposición simple y concreta de conceptos, teorías y definiciones, que tendrá el siguiente orden : en la primera parte se va a exponer que es lo que se pretende con la realización del artículo, a continuación se tratará de ilustrar de una manera breve cual es el principal problema a solucionar en el ámbito del diseño de un ala (en particular, esto será desarrollado posteriormente para un ala delta), luego se mostrarán las ecuaciones pertinentes para el diseño de un ala, explicando al mismo tiempo que significan las variables que aparecen en dichas ecuaciones, y algunos conceptos teóricos que hacen parte de las teorías de las que se derivan dichas ecuaciones. En cuarto lugar se ilustrará el procedimiento a seguir para el diseño de un ala delta particular (es decir con geometría, condiciones y suposiciones dadas ) y por último se concluirá acerca del trabajo realizado.

Objetivos

El objetivo principal del trabajo es diseñar un ala delta de características geométricas conocidas. Derivados al procedimiento que se requiere para realizar dicho diseño, se pretende explicar ciertas teorías que se aplican en el proceso mencionado arriba, así como definiciones, y características que influyen en dichas teorías, y que por ende también implican efectos en el comportamiento aerodinámico del ala, con el fin de dar un sencillo y breve acercamiento al mundo de la aerodinámica y el espacio que ocupa en la ingeniería de hoy en día.

Cuál es el Problema a solucionar?

Durante muchos siglos el hombre viendo que la naturaleza no le había proveído condiciones físicas suficientes o necesarias para poder volar, comenzó a desarrollar (es decir diseñar y construir, y en ocasiones solo construir) máquinas que suplieran dichas características, para acercarlo más a la experiencia de las aves.

Con el transcurrir del tiempo y de muchas investigaciones y ensayos por parte de personas como Prandtl, Lanchester, Euler, Kutta, Joukowsky y otros igualmente importantes, se desarrollaron teorías que permiten predecir de manera bastante aproximada el comportamiento aerodinámico de alas y cuerpos en vuelo.

Determinar el coeficiente de sustentación y arrastre de dichos cuerpos son el principal objetivo con el cual fueron desarrolladas las teorías para alas delgadas finitas e infinitas, (los conceptos de coeficiente de sustentación y arrastre, así como que se considera un ala delgada serán expuestos posteriormente), así como determinar la influencia de la geometría y condiciones como la velocidad del viento, en el comportamiento del cuerpo alado o sustentador.

Dos teorías que aunque fueron desarrolladas entre la primera y segunda década de este siglo y desprecian el efecto de la compresibilidad del aire y su viscosidad, son usadas con bastante exactitud en la actualidad en el diseño aerodinámico de cuerpos. Estas teorías seran expuestas a continuación.

Teoría de Prandtl

fig. 1

La teoría de Prandtl indica que el ala se puede modelar como un filamento de vórtices ubicados en la línea de cuarto de cuerda (2) (esta es la línea que se obtiene uniendo los puntos que se hallan con respecto a el borde de ataque a una distancia igual a la cuarta parte de la distancia que hay entre este y el borde de fuga, siendo esta distancia medida para un valor fijo de coordenada (y), como se ilustra en la figura 1 ), girando en un sentido tal que en la parte superior del ala la velocidad tangencial producida por el vórtice tenga la misma dirección que la velocidad del viento V, y en la parte inferior del ala tengan direcciones opuestas, causando así mediante una diferencia de presiones dinámicas, que se genere una fuerza de sustentación L, que es la que permite que el cuerpo en cuestión vuele. Pero además, existe una componente de la fuerza total que actúa a lo largo del ala (es decir en sentido paralelo a la dirección de la velocidad del viento), llamada fuerza de arrastre (D), que es una fuerza que se opone al movimiento del cuerpo. (Ver figura 2 ).

fig. 2

La fuerza de sustentación y la de arrastre se relacionan con la presión dinámica respectivamente mediante los coeficientes adimensionales de sustentación (Cl) y de arrastre (Cd) dando lugar a las ecuaciones (3)

En donde A en el caso de alas es el área proyectada como si fuera vista desde la parte inferior o desde la parte superior de esta, r es la densidad del fluído en el que se mueve es cuerpo, y los otros parámetros, los mencionados anteriormente.

fig. 3

Lo que se necesita hallar para poder solucionar estas ecuaciones son los coeficientes de sustentación y arrastre. Por medio de la teoría para alas finitas de Lanchester - Prandtl, y en el hecho de la existencia de otro tipo de vórtices llamados vórtices de herradura (descubiertos por Lanchester) que se producen en los extremos del ala debido a la diferencia de presiones entre la parte inferior y superior del ala, induciendo una velocidad perpendicular con respecto a la velocidad del viento y dirigida hacia abajo, lo cual hace que el ángulo de ataque (ángulo formado entre la línea de cuerda y la dirección del viento ) sea reducido y por ende, la fuerza de arrastre aumente; las ecuaciones que describen este fenómeno son : (ver figuras 1,2 y 3 para mejor comprensión de los términos y de las ecuaciones).

En donde es la velocidad inducida por los vórtices de herradura en el punto yo de la cuerda, los subíndices 3-D indican que el parámetro mencionado es para un ala tridimensional, es el ángulo inducido debido a la velocidad inducida, es la distribución de vorticidad de los vórtices de herradura, b es la envergadura, es el ángulo entre la línea de cuerda y la dirección del viento incidente (esta velocidad es relativa, es decir, es la suma de la velocidad absoluta del viento con la velocidad que lleva el cuerpo o ala), es el ángulo efectivo de ataque (con el que se produce la sustentación en realidad ), es el ángulo de cero sustentación (para perfiles NACA se determina según la figura 4 del anexo), y RA es la relación de aspecto del ala , que corresponde a la razón entre el cuadrado de la envergadura (distancia de extremo a extremo del ala) y el área proyectada del ala.

fig. 4

Dadas estas relaciones, y dado que la distribución de vorticidad se puede aproximar con series de Fourier, se tienen las siguientes ecuaciones

En estas ecuaciones q es una transformación que permite recorrer la envergadura como una función de q en lugar de ser una función de y, y es preferible usar la función en términos de q ya que los puntos que describen esta transformación en su primer término (A1) describen una elipse, que es bastante aproximada a la forma real de la distribución de vorticidad a lo largo de la línea decuarto de cuerda, por ende, no se necesitan muchos términos para una correcta aproximación, ya que la variación aproximadamente del séptimo en adelante es negligible (1); C(q ) es la variación de la cuerda con respecto a q para alas con taperado o con cuerda que varía a lo largo de la envergadura y los coeficientes An son los de la aproximación de Fourier, que posteriormente, solucionando el sistema lineal de ecuaciones permiten obtener los coeficientes de sustentación y arrastre de la siguiente manera

En donde Cd_i es el coeficiente de arrastre inducido, y el coeficiente total de arrastre es la suma de este más el de el ala como si fuera de envergadura infinita, a un ángulo de ataque dado.

Esta teoría es utilizada para alas cuyo máximo espesor sea hasta del 12 % de la longitud cuerda, que su máxima combadura tenga un valor que como máximo sea del 2 % de la longitud de la cuerda y en las que el ángulo de ataque tenga un valor bajo.

Método del Látice de Vórtices

La diferencia fundamental de este método con el propuesto por Prandlt, se basa en que la sección del ala es dividida en páneles, los cuales tienen cada uno un punto de control ubicado en la línea de tres cuartos de cuerda, ya que es en este sitio en el que se siente verdaderamente el efecto inducido por los vórtices que dan la tendencia sustentadora de la sección (Ver figura 12). Luego, mediante la ley de Biot-Savart, se deduce que la magnitud de la velocidad inducida está dada por :

En estas ecuaciones, representa la intensidad del vórtice, y r, la distancia al punto en el cual se quiere ver el efecto del vórtice.

fig. 12

Básicamente, por medio de esta ecuación se calcula por separado el efecto de los vórtices de estela, cuando digo por separado, me refiero a que el flujo inducido por un vórtice de estela tiene tres segmentos de acción.

Mediante una larga manipulación matemática se llega a la siguiente ecuación:

Esta es la ecuación básica para el cálculo de la velocidad inducida por los vórtices de estela en este método. Cada una de las incidencias se calcula mediante esta fórmula, por separado, dando esto lugar a ecuaciones que dependen de las tres coordenadas x,y y z.

Todo el procedimiento matemático se puede encontrar en la referencia 4 y las variables corresponden a las de la figura 13

fig. 13

Utilizando esta fórmula para los vórtices, se llega a la siguiente expresión :

en donde se llama coeficiente de influencia, y depende de la geometría del vórtice de estela n, y de su distancia desde el punto de control del m-ésimo pánel. Así, la velocidad total inducida en el m-ésimo punto de control por los 2N vórtices está dada por la ecuación

Pero para poder conocer el valor de la intensidad de cada uno de los vórtices, razón por la cual se aplican las condiciones de frontera, que consiste en que el flujo resultante es tangente al ala en todos y cada uno de los puntos de control; de esta forma, la componente normal de la velocidad inducida al ala en el punto de control balancea la componente normal de la velocidad de corriente libre.

Por cuestiones de espacio, y longitud de las demostraciones, solo se van a mostrar tres ecuaciones más que son a las que se llega al final de todo el procedimiento, y las que se utilizan en los cálculos para diseño. Estas son:

Para profundizar más acerca de las ecuaciones, deducción, variables, y significado, toda esta información se encuentra en la referencia 4.

Consideraciones generales de Carga en el diseño de un ala

Al considerar las cargas que se presentan en un ala, se ven involucradas dos ramas de la ingerniería en particular, la aerodinámica, y la resistencia de los materiales. Por medio de la aerodinámica se determinan las geometrías y propiedades que afectan las características de desempeño, estabilidad y control del avión.

El análisis de esfuerzos se preocupa de las distribuciones de cargas que representan las condiciones más difíciles de operación, para diferentes partes de la estructura interna del avión.

Para obtener los diagramas de momento y cortante para el diseño del ala, se debe determinar la distribución de cargas a lo largo de la envergadura, esta distribución, como se vió anteriormente, depende de la geometría de la superficie del ala, el perfil usado, y la forma con la que el ala incide en el viento. Los métodos para obtener dichas distribuciones fueron los expuestos anteriormente, siendo para el caso particular del ala delta el segundo, ya que la teoría de la línea sustentadora de Prandtl no es válida ni para relaciones de aspecto menores a 5 o 6, ni para alas con ángulo de flecha grande, o con un taperado muy pronunciado (mayor a 30° ) (1). Para estas condiciones, el ángulo inducido no depende de la intensidad de los vórtices en la línea de cuarto de cuerda, sino de la intensidad de estos en la línea de tres cuartos de cuerda, entonces, el ángulo efectivo de ataque es menor que el que predice la teoría de Prandtl, este efecto es mayor en los bordes del ala, que en el centro, razón por la cual el efecto es grande en alas con baja relación de aspecto. Además los valores de la pendiente de la curva Cl vs. a son menores que los usados en dicha teoría, luego las fuerzas de sustentación son menores. Es por esto que el método a usar es el de Látices de Vórtices.

Una vez determinada la distribución de cargas, se analizan cuatro condiciones críticas de carga, alto ángulo de ataque positivo (+HAA), bajo ángulo de ataque positivo (+LAA), alto ángulo de ataque negativo (-HAA), y bajo ángulo de ataque negativo (-LAA). (Ver figura 5 ). Para la primera condición se usa el ángulo de ataque correspondiente a 1.25 veces el máximo coeficiente de sustentación del perfil; la fuerza resultante en esta condición causa compresión en la parte superior del ala y también en el borde de ataque. En la segunda condición, se someten a esfuerzos de compresión tanto la parte superior del ala, como el borde de fuga. La tercera condición causa compresión en el borde de ataque y en la parte inferior del ala, y la cuarta condición crea esfuerzos de compresión en el borde de fuga y en la parte inferior del ala. Para tener un rango de confiabilidad, se tienen en cuenta un factor de carga, que se define como el negativo de la razón entre la sumatoria de fuerzas externas en el avión ( sin incluir ni las inerciales ni el peso), y el peso peso del avión, y un factor de 1.5 que se multiplica al factor de carga. Siendo necesario que los esfuerzos generados estén por debajo del esfuerzo de fluencia en condiciones de carga límite, y por debajo del esfuerzo último en caso de cargas extremas.

fig. 5

Conclusiones

Como se puede observar a lo largo del artículo, hay varios factores que se deben tener en cuenta en el diseño de un ala, aún cuando para el presente artículo se han obviado efectos de cambios de densidad y flujo compresible, por no ser muy relevantes para el diseño de alas delta por no poseer un techo de servicio elevado, ni velocidades supersónicas.

Por otra parte, de las ecuaciones mostradas a lo largo del artículo, se puede observar que si se aumenta la relación de aspecto, aumenta el coeficiente de sustentación, y disminuye el coeficiente de arrastre.

De las figuras 6, 7, 8, 9, 10, y 11 (2) que son gráficas generadas por el programa de computador ALAS, se puede observar que la razón de taperado no afecta sustancialmente los coeficientes de sustentación ni de arrastre, lo que hace es variar la distribución de sustentación a lo largo del ala.